Question

如图，已知锐角△ABC的面积为6，AC=4，∠BAC的平分线交BC于点D、M、N分别是AD和BC上的动点，求BM+MN的最小值及画出图形．

Answer 1

分析：因为AD是∠BAC的角平分线，设N关于AD的对称点为R，由于为锐角三角形，则R必在AC上，作AC边上的高BE，E在线段AC上，连接BR交AD于M，则MN=MR，BM+MN=BM+MR=BR，在直角三角形BER中，BR是斜边，BE是直角边，所以BR最小值是和BE重合即为三角形ABC的BC边上的高线，利用面积公式求出高线BE即可．

解答：解：设N关于AD的对称点为R，由于为锐角三角形，则R必在AC上，作AC边上的高BE，E在线段AC上，连接BR交AD于M，
∴MN=MR，
∴BM+MN=BM+MR=BR≥BE，
∵面积为6，AC=4，
∴6=

1

2

AC•BE，
∴BE=3，
∴BM+MN的最小值为3．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明BM+MN的最小值为三角形某一边上的高线．