Question

如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，∠APE=∠B，交DC于E，且BP=CE．
（1）求等腰梯形的腰AB的长；
（2）求证：△ABP≌△PCE．

Answer 1

（1）解：如图，过点A作AF∥CD交BC于点F，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD，FC=AD=3，
∴BF=BC-CF=7-3=4，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB=CD，
∴AB=AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF=4；

（2）证明：∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，
∴∠B=∠C，
在△ABP中，∠APC=∠B+∠BAP=∠APE+∠CPE，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠CPE，
在△ABP与△PCE中，，
∴△ABP≌△PCE（AAS）．
分析：（1）过点A作AF∥CD交BC于点F，可得四边形AFCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得到AF=CD，AD=CF，从而求出BF的长度，然后证明△ABF是等边三角形，从而得解；
（2）根据∠B=60°结合三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以推出∠BAP=∠CPE，然后利用角角边即可证明两三角形全等．
点评：本题考查了等腰梯形的两腰相等，同一底上的两个底角相等的性质以及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定，准确分析图形并作出辅助线是解决梯形问题的关键．