Question

已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OF⊥BD于点O，交CD于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AO²=OE•OF．

Answer 1

证明：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC，且∠OCD=∠ODC，∠BCD=90°，
∵OF⊥BD于点O，
∴∠F=∠ODC，
∴∠OCD=∠F，
在△OCE和△OFC中，
∵∠EOC=∠COF，
∠OCD=∠F，
∴△OCE∽△OFC，
∴OC：OF=OE：OC，
∴OC²=OE•OF，
∴AO²=OE•OF．
分析：此题首先由已知矩形对角线，及OF⊥BD得出∠F=∠ODC，∴∠OCD=∠F，然后证明△OCE∽△OFC，得出OC²=OE•OF，又由矩形的对角线相等且互相平分，从而得证．
点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是先由矩形的性质及已知得出∠F=∠ODC，得出∠OCD=∠F，再证明三角形相似．