Question

20．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接DE，AD=BD，∠ADE=120°．
（1）试判断△ABC的形状并说明理由．
（2）若AC=2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CD，由AC为⊙O的直径，得到CD⊥AB，由∠ADE=120°，得到∠ACE=60°，根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠A=∠ACB=∠B=60°，推出△BDE是等边三角形，得到BD=ED，等量代换得到DE=AD，得到S_阴影=S_△DEB，于是得到结论．

解答 解：（1）△ABC是等边三角形，
连接CD，
∵AC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
∵AD=BD，
∴AC=BC，
∵∠ADE=120°，
∴∠ACE=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=∠B=60°，
∴∠BED=∠BDE=∠B=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD=ED，
∵AD=BD，
∴DE=AD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{AD}$，
∴S_弓形DE=S_弓形AD，
∴S_阴影=S_△DEB，
∵AC=2，
∴BD=1，
∴S_阴影=S_△DEB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了扇形的面积，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．