Question

11．如图，D为AC上一点，E为AD一点，且AD=AB，∠EBD=∠DBC．求证：
（1）△ABE∽△ACB；
（2）AD²=AE•AC．

Answer 1

分析 （1）由AB=AD，得到∠1+∠5=∠4，根据外角的性质得到∠3=∠1+∠4，于是得到∠3=∠1+∠1+∠5=∠2+∠1+∠5，推出∠3=∠ABC，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AB}$，于是得到AB²=AC•AE，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠EBD=∠DBC，
∴∠1=∠2，
∵AB=AD，
∴∠1+∠5=∠4，
∵∠3=∠1+∠4，
∴∠3=∠1+∠1+∠5=∠2+∠1+∠5，
即∠3=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB；

（2）∵△ABE∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴AB²=AC•AE，
∵AB=AD，
∴AD²=AE•AC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．