Question

从“特殊到一般”是数学上常用的一种思维方法．例如，“你会比较2011²⁰¹²与2012²⁰¹¹的大小吗？”我们可以采用如下的方法：
（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“=”）
①1²______2¹，②2³______3²，③3⁴______4³，④4⁵______5⁴，⑤5⁶______6⁵，…
（2）由（1）可以猜测nⁿ⁺¹与（n+1） ⁿ （n为正整数）的大小关系：
当n______时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n______时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）根据上面的猜想，可以知道：2011²⁰¹²______2012²⁰¹¹（填“＞”、“＜”或“=”）．

Answer 1

解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹，
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²，
③∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³，
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴，
⑤∵5⁶=15625，6⁵=7776，
∴5⁶＞6⁵，
故答案为：（1）＜，＜，＞，＞；

（2）通过观察可以看出；n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；
n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
故答案为：≤2，＞2；

（3）由（2）得到的结论；2011＞2，
∴2011²⁰¹²＞2012²⁰¹¹，
故答案为：＞．
分析：（1）通过计算可比较大小；
（2）观察（1）中的符号，归纳nⁿ⁺¹与（n+1） ⁿ （n为正整数）的大小关系；
（3）由（2）中的规律可直接得到答案；
点评：此题主要考查了实数大小的比较和归纳规律，归纳规律是现在中考中的重点考查题目，有效的考查了同学们的归纳和观察能力．