Question

20．如图（1），抛物线y=ax²+bx+5（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y=x+5，抛物线的对称轴与x轴交于点E，点D（-2，-3）在对称轴上．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图（1），若点M是线段OE上一点（点M不与点O、E重合），过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，记点N关于抛物线对称轴的对称点为点F，点P是线段MN上一点，且满足MN=4MP，连接FN、FP，作QP⊥PF交x轴于点Q，且满足PF=PQ，求点Q的坐标；
（3）如图（2），过点B作BK⊥x轴交直线AC于点K，连接DK、AD，点H是DK的中点，点G是线段AK上任意一点，将△DGH沿GH边翻折得△D′GH，求当KG为何值时，△D′GH与△KGH重叠部分的面积是△DGK面积的$\frac{1}{4}$？

Answer 1

分析 （1）因为点A在y=x+5上，令y=0得出点A坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）可证明△QMP≌△PNF，得出MQ=NP，MP=NF，设M（m，0），得出N（m，-m²-4m+5），利用线段的长度列出方程，求得m的值，根据m的取值范围，得出m=-1，从而求得点Q的坐标；
（3）令y=0，得出点B和K的坐标，分三种情况：①若翻折后，点D′在直线GK上方，记D′H与GK交于点L，连接D'K，由面积的关系得出四边形D'GHK是平行四边形，再证明△ABK和△AED都是等腰直角三角形，由勾股定理得AG和KG即可；②若翻折后，点D′在直线DK下方，记D′G与KH交于点L，连接D′K，由题意得S_△GHL=$\frac{1}{4}$S_△DGK=$\frac{1}{2}$S_△GHK=$\frac{1}{2}$S_△GHD′，即S_△GHL=S_△D′HL=S_△KGL，仍证明四边形D′KGH是平行四边形，求得KG；③若翻折后，点D′于点K重合，则重叠部分的面积等于S_△KGH=$\frac{1}{2}$S_△DGK，不合题意；综合写出KG的值．

解答 解：（1）在y=x+5中，令y=0，得x=-5，
∴A（-5，0），
∵D（-2，-3）在对称轴上，
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a-5b+5=0}\\{-\frac{b}{2a}=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；
（2）∵MN⊥QM，MN⊥FN，QP⊥PF，如图1，
∴∠2=∠6=90°，∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，
∴∠1=∠5 
又∵PF=PQ，
∴△QMP≌△PNF，
∴MQ=NP，MP=NF，
设M（m，0）（-2＜m＜0），则N（m，-m²-4m+5），MN=-m²-4m+5 
∴F（-4-m，-m²-4m+5），FN=m-（-4-m）=2m+4，
∴-m²-4m+5=4（2m+4），
解得m=-1或m=-11（舍），
∴MN=8，M（-1，0），
∴MQ=NP=$\frac{3}{4}$MN=6，
∴Q（-7，0）；
（3）令-x²-4x+5=0，得x=-5或x=1，
∴B（1，0），K（1，6），
∵$DK=\sqrt{{{[{1-（-2）}]}^2}+{{[{6-（-3）}]}^2}}=3\sqrt{10}$，
①若翻折后，点D′在直线GK上方，记D′H与GK交于点L，连接D'K，如图2，
∴${S_{△GHL}}=\frac{1}{4}{S_{△DGK}}=\frac{1}{2}{S_{△GHK}}=\frac{1}{2}{S_{△GHD'}}$，即S_△GHL=S_△D'GL=S_△KHL，
∴GL=LK，HL=D'L，
∴四边形D'GHK是平行四边形，
∴$DG=D'G=KH=\frac{1}{2}KD=\frac{3}{2}\sqrt{10}$，
又∵BK=BA=6，DE=AE=3，
∴△ABK和△AED都是等腰直角三角形，AD=3$\sqrt{2}$，
∴∠DAG=45°+45°=90°，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{D{G^2}-A{D^2}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴$KG=KA-AG=6\sqrt{2}-\frac{3}{2}\sqrt{2}=\frac{9}{2}\sqrt{2}$，
②若翻折后，点D′在直线DK下方，记D′G与KH交于点L，连接D′K，如图3，
∴S_△GHL=$\frac{1}{4}$S_△DGK=$\frac{1}{2}$S_△GHK=$\frac{1}{2}$S_△GHD′，即S_△GHL=S_△D′HL=S_△KGL，
∴HL=KL，GL=D′L，
∴四边形D′KGH是平行四边形，
∴KG=D′H=DH=$\frac{1}{2}$KD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
③若翻折后，点D′于点K重合，则重叠部分的面积等于S_△KGH=$\frac{1}{2}$S_△DGK，不合题意；
综上所述，KG=$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$或KG=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题综合性的考查了用待定系数法求抛物线的解析式、用公式法求抛物线的顶点坐标、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．