Question

5．设${a_1}=1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}$，${a_2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}$，${a_3}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}$，…，${a_n}=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$，令S_n=$\sqrt{a_1}$+$\sqrt{a_2}$+$\sqrt{a_3}$+…+$\sqrt{a_n}$，则$\frac{{2014×{S_{2013}}}}{2013}$的值为2015．

Answer 1

分析 先计算出a₁=（$\frac{3}{2}$）²，a₂=（$\frac{7}{6}$）²，a₃=（$\frac{13}{12}$）²，…，a_n=[$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$]²，再根据二次根式的性质得到S₂₀₁₃=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$+$\frac{13}{12}$+…+$\frac{2013×2014+1}{2013×2014}$，接着把分数都化成真分数，利用分式的减法运算得到S₂₀₁₃=2014-$\frac{1}{2014}$，然后把S₂₀₁₃=2014-$\frac{1}{2014}$代入$\frac{{2014×{S_{2013}}}}{2013}$中计算即可．

解答 解：∵a₁=（$\frac{3}{2}$）²，${a_2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}$=（$\frac{7}{6}$）²，${a_3}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}$=（$\frac{13}{12}$）²，…，${a_n}=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$=[$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$]²，
∴S₂₀₁₃=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$+$\frac{13}{12}$+…+$\frac{2013×2014+1}{2013×2014}$=2013+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{2013×2014}$=2013+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$=2014-$\frac{1}{2014}$
∴$\frac{{2014×{S_{2013}}}}{2013}$=$\frac{2014×（2014-\frac{1}{2014}）}{2013}$=$\frac{201{4}^{2}-1}{2013}$=$\frac{（2014+1）（2014-1）}{2013}$=2015．
故答案为2015．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．