Question

18．如图，在矩形ABCD中，BC=5，AB=3，分别经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是$\frac{15\sqrt{34}}{17}$．

Answer 1

分析 如图，设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，根据∠B=90°可知，点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，可知BO+OM≥BN，故当BN为直径时，直径的值最小，即直径GH也最小，同理可得EF的最小值．

解答 解：如图，设GH的中点为O，
过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，
在Rt△ABC中，BC=5，AB=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
由面积法可知，BN•AC=AB•BC，
解得BN=$\frac{15}{\sqrt{34}}$，
∵∠B=90°，
∴GH为⊙O的直径，点O为过B点的圆的圆心，
∵⊙O与AC相切，
∴OM为⊙O的半径，
∴BO+OM为直径，
又∵BO+OM≥BN，
∴当BN为直径时，直径的值最小，
此时，直径GH=BN=$\frac{15}{\sqrt{34}}$，
同理可得：EF的最小值为$\frac{15}{\sqrt{34}}$，
∴EF+GH的最小值是$\frac{30\sqrt{34}}{34}$=$\frac{15\sqrt{34}}{17}$．
故答案为：$\frac{15\sqrt{34}}{17}$．

点评 本题考查了切线的性质，垂线的性质及勾股定理的运用．关键是明确EF、GH为两圆的直径，根据题意确定直径的最小值．