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    定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
    性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
    理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
    应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
    （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
    （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
    探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得
    到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．

    【答案】分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
    （2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．
    探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
    解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
    ∴AD∥BC，
    ∵AE=BF，
    ∴四边形ABFE是平行四边形，
    ∴OE=OB，
    ∴△AOE和△AOB是友好三角形．

    （2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
    ∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，
    ∵△AOB与△AOE是友好三角形，
    ∴S△AOB=S△AOE．
    ∵△AOE≌△FOB，
    ∴S△AOE=S△FOB，
    ∴S△AOD=S△ABF，
    ∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．

    探究：
    解：分为两种情况：①如图1，

    ∵S△ACD=S△BCD．
    ∴AD=BD=AB，
    ∵沿CD折叠A和A′重合，
    ∴AD=A′D=AB=4=2，
    ∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
    ∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
    ∴DO=OB，A′O=CO，
    ∴四边形A′DCB是平行四边形，
    ∴BC=A′D=2，
    过B作BM⊥AC于M，
    ∵AB=4，∠BAC=30°，
    ∴BM=AB=2=BC，
    即C和M重合，
    ∴∠ACB=90°，
    由勾股定理得：AC==2，
    ∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；
    ②如图2，

    ∵S△ACD=S△BCD．
    ∴AD=BD=AB，
    ∵沿CD折叠A和A′重合，
    ∴AD=A′D=AB=4=2，
    ∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
    ∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
    ∴DO=OA′，BO=CO，
    ∴四边形A′BDC是平行四边形，
    ∴BD=A′C=2，
    过C作CQ⊥A′D于Q，
    ∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
    ∴CQ=A′C=1，
    ∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；
    即△ABC的面积是2或2．
    点评：本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．
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    性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
    理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
    应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
    （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
    （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
    探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得
    到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
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    ，请直接写出△ABC的面积．

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    科目：初中数学 来源：2013年辽宁省辽阳市高级中等学校招生考试数学 题型：044

    定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”

    性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等，

    理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．

    应用：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O，

    (1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；

    (2)连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积，

    探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．

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    科目：初中数学 来源：2013年初中毕业升学考试（辽宁沈阳卷）数学（解析版） 题型：解答题

    定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．

    性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．

    理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．

    应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．

    （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；

    （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．

    探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．

     

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”

      性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等，

      理解：如图①，在中，CD是AB边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且。

      应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O，

    （1）       求证: 和是“友好三角形”；

    （2）       连接OD，若和是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积，

      探究：在中，，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，和是“友好三角形”，将沿CD所在直线翻折，得到与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积。

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