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(2004•朝阳区)已知抛物线y=ax2+(+3a)x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:可根据抛物线的解析式表示出A、B、C的坐标,然后分别表示出AB、AC、BC的长,可根据∠BAC=90°,∠BCA=90°,∠ABC=90°三种不同情况用勾股定理求出a的值.
解答:解:依题意,得点C的坐标为(0,4),
设点A、B的坐标分别为(x1,0),(x2,0),
由ax2+(+3a)x+4=0,
解得x1=-3,x2=-
∴点A、B的坐标分别为(-3,0),(,0),
∴AB=|-+3|,AC==5,BC==
∴AB2=|-+3|2=-+9,
AC2=25,BC2=+16.
(ⅰ)当AB2=AC2+BC2时,∠ACB=90°,
由AB2=AC2+BC2
-+9=25++16,
解得a=-
∴当a=-时,点B的坐标为(,0),
AB2=,AC2=25,BC2=
于是AB2=AC2+BC2
∴当a=-时,△ABC为直角三角形.
(ⅱ)当AC2=AB2+BC2时,∠ABC=90°,
由AC2=AB2+BC2
得25=-+9++16,
解得a=
当a=时,-=-=-3,点B(-3,0)与点A重合,不合题意.
<ⅲ>当BC2=AC2+AB2时,∠BAC=90°,
由BC2=AC2+AB2
得25+-+9=+16,
解得a=
不合题意.
综合<ⅰ>、<ⅱ>、<ⅲ>,当a=-时,△ABC为直角三角形.
点评:本题考查了二次函数的应用、直角三角形的判定和勾股定理等知识.
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