Question

（1997•甘肃）如图，已知AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．求证：DH=DG．

Answer 1

分析：根据三角形高德定义得到∠BEC=90°，∠ADC=90°，根据等角的余角相等得到∠EBC=∠3，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠CBG=∠3，则∠EBC=∠CBG，然后根据等腰三角形三线合一即可得到结论．

解答：证明：连接BG，如图，
∵AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，
∴∠BEC=90°，∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=∠3+∠ACD，
∴∠EBC=∠3，
∵∠CBG=∠3，
∴∠EBC=∠CBG，
而BD⊥HG，
∴BD平分HG，
即DH=DG．

点评：本题考查了圆周角定理及其讨论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．