Question

16．二次函数y=-x²+2x+3的图象如图所示，在x轴上方，且平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于M，N两点，在x轴上取点Q，使△MNQ为等腰直角三角形，请你写出所有符合的点Q的坐标（1，0）或（2-$\sqrt{5}$，0）或（$\sqrt{5}$，0）．

Answer 1

分析 此题要分三种情况讨论：
①点Q是直角顶点，那么点Q必为抛物线对称轴与x轴的交点，由此求得点Q的坐标；
②以M为直角顶点时，可Q₂（x，0）（x＜1），根据抛物线的对称性可知MN正好等于抛物线对称轴到M点距离的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，则QM=MN，由此可表示出点M的纵坐标，联立抛物线的解析式，即可得到关于M点横坐标的方程，从而求得点Q的坐标；\
③以N为直角顶点时，根据抛物线的对称性知：Q关于抛物线的对称点也符合题意；

解答 解：存在，且Q的坐标为（1，0）或（2-$\sqrt{5}$，0）或（$\sqrt{5}$，0）；
由二次函数y=-x²+2x+3可知抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
∴对称轴为x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
①若Q是直角顶点，由M、N对称性可直接得Q₁（1，0）；
②若M是直角顶点；
设Q₂（x，0）（x＜1），
∴MN=2Q₁Q₂=2（1-x），
∵△Q₂MN为等腰直角三角形；
∴y=2（1-x）即-x²+2x+3=2（1-x）；
∵x＜1，
∴Q₂（2-$\sqrt{5}$，0）；
③若N是直角顶点；
由对称性可得Q₃（$\sqrt{5}$，0）；
故Q点的坐标为（1，0）或（2-$\sqrt{5}$，0）或（$\sqrt{5}$，0）．

点评 此题主要考查了二次函数的性质、等腰三角形及等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论的数学思想是解题的关键．