Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：①AE=AG；②tan∠AGE=2；③S_△DOG=S_{四边形EFOG}；④四边形ABFG为等腰梯形；⑤BE=2OG，则其中正确的结论个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，
由折叠的性质可得：∠ADE=∠FDE=

1

2

∠ADB=22.5°，
则∠AEG=90°-∠ADE=67.5°，∠AGE=∠ADE+∠DAC=22.5°+45°=67.5°，
∵∠AGE=∠AEG=67.5°，
∴AE=AG，即①正确；
设EF=x，则AE=x，BE=

2

EF=

2

x，AB=AE+BE=（

2

+1）x，
tan∠AGE=tan∠AEG=

AD

AE

=

AB

AE

=

2

+1．即②错误；
∵AB=（

2

+1）x，
∴AO=（1+

2

2

）x，OG=AO-AG=AO-AE=

2

2

x，
易得△DOG∽△DFE，
∵

S△DOG

S△DFE

=（

OG

EF

）²=

1

2

，
∴可得S_△DOG=S_{四边形EFOG}，即③正确；
∵∠AGE=∠FGE（折叠的性质），∠AGE=∠AEG（①已证），
∴∠FGE=∠AEG，
∴GF∥AB，
又∵BF=EF（等腰直角三角形的性质）=AE=AG，
∴四边形ABFG为等腰梯形，即④正确；
由上面的解答可得：AE=

2

x，OG=

2

2

x，
故可得BE=2OG，即⑤正确．
综上可得：①③④⑤正确，共4个．
故选C．