Question

19．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM．有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③△DMC∽△EMN；④BM=AB；其中正确结论的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①本题需先根据已知条件，得出∠ADF=∠DCE，即可判定△ADF与△DCE全等．
②本题需先根据AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出NF＞MN．
③根据$\frac{DM}{CM}≠\frac{EM}{NM}$，而∠CMD=∠NME，即可得出△DMC∽△EMN不成立．
④延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到BM=$\frac{1}{2}$CG=BC，进而得出BM=AB．

解答 解：①∵DF⊥CE，∠CDE=90°，
∴∠ADF+∠CDF=∠DCE+∠CDF，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠EDC}\\{AD=DC}\\{∠ADF=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
故①正确；

②∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠NAF=∠NAE}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△ANE（SAS），
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴Rt△MEN中，NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN不成立，
故②错误；

③设DE=AF=1，则CD=2，
∴CE=DF=$\sqrt{5}$，
∵DM⊥CE，
∴$\frac{1}{2}$DE×CD=$\frac{1}{2}$CE×DM，
∴DM=$\frac{DE×CD}{CE}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，EM=$\sqrt{D{E}^{2}-D{M}^{2}}$=$\frac{1}{5}\sqrt{5}$，
∴CM=$\sqrt{5}$-$\frac{1}{5}\sqrt{5}$=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$，
∴DM：CM=1：2，
∵AF∥CD，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{FN}{DN}=\frac{1}{2}$，
∴DN=$\frac{2}{3}$DF=$\frac{2}{3}\sqrt{5}$，
∴MN=DN-DM=$\frac{4}{15}\sqrt{5}$，
∴EM：MN=3：4，
∴$\frac{DM}{CM}≠\frac{EM}{NM}$，而∠CMD=∠NME，
∴△DMC∽△EMN不成立，
故③错误；

④如图，延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，
根据F为AB中点，可得AF=BF，
在△DAF与△GBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠G}\\{∠DAB=∠GBF=90°}\\{AF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，
又∵AD=BC，
∴BC=BG，
∴Rt△CMG中，BM=$\frac{1}{2}$CG=BC，
又∵BC=AB，
∴MB=AB，
故④正确；
故选：B．

点评 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在解题时要注意全等三角形的对应边相等、相似三角形的对应边成比例．