Question

如图，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（1，3），把矩形绕点B旋转一定的角度，使它的顶点O落在x轴的点D处，已知M是第四象限内纵坐标为-1的点，以M为顶点的抛物线正好过O、D两点．
（1）求点D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点N，使以O、M、N为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，连接OB、BD，根据题意可得，点O、D关于点A对称，
∵点B的坐标为（1，3），
∴点A的坐标为（1，0）
∴点D的坐标为（2，0）；

（2）∵抛物线过点O、D，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴顶点M的坐标为（1，-1），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-1，
∴a（0-1）²-1=0，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-1=x²-2x+1-1=x²-2x，
即y=x²-2x；

（3）如图，∵点M的坐标为（1，-1），
∴△AOM是等腰直角三角形，
∴∠AOM=∠AMO=45°，
①当∠AMN=45°时，则∠AMN=45°，
设直线MN的解析式为y=x+b₁，
则1+b₁=-1，
解得b₁=-2，
∴直线MN的解析式为y=x-2，
∴，
解得（为点M的坐标，舍去），，
∴点M的坐标为（2，0），
②∠AON=45°时，则∠AON=45°，
设直线MN的解析式为y=x，
则，
解得（为坐标原点，舍去），，
∴点N的坐标为（3，3），
综上所述，点N的坐标为（2，0）或（3，3）．
分析：（1）连接OB、OD，根据对称性可知点O、D关于点A对称，根据点B的坐标可得点A的坐标，然后即可求解；
（2）根据点O、D的坐标求出对称轴的解析式为x=1，然后得到顶点坐标，再设出顶点式解析式，利用待定系数法求解即可；
（3）先根据点M的坐标求出△AOM是等腰直角三角形，所以分①∠AMN=45°时，求出直线MN的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到点N的坐标，②∠AON=45°时，求出直线ON的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到点N的坐标，从而得解．
点评：本题综合考查了二次函数的性质，坐标与图形的性质，待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，以及函数图象交点的求解方法，求出顶点M的坐标是解答本题关键．