Question

15．如图，已知四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC．
（1）请你补充一个条件，使△ABD∽△DCB，并证明你补充的条件符合要求；
（2）在（1）的条件下，如果AD=6，BD=4$\sqrt{3}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）补充条件为：∠BDC=90°，理由为：由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（2）由（1）的结论，利用相似三角形对应边成比例，求出BC的长，在直角三角形BDC中，利用勾股定理DC的长．

解答 解：（1）补充条件为：∠BDC=90°，
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠A=∠BDC=90°，
∴△ABD∽△DCB；
（2）∵△ABD∽△DCB，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{6}{4\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{BC}$，
解得：BC=8，
在Rt△BDC中，DC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=4．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．