Question

已知二次函数的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），且与直线y=kx-4交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果直线y=kx-4经过二次函数的顶点D，且与x轴交于点E，△AEC的面积与△BCD的面积是否相等？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由；
（3）求sin∠ACB的值．

Answer 1

解：（1）∵y=kx-4，
∴当x=0时，y=-4，即C点坐标为（0，-4）．
设经过点A（-1，0）和点B（3，0）的二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，-4）代入，得-4=-3a，
解得a=，
∴这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-x-4；

（2）△AEC的面积与△BCD的面积相等，理由如下：
∵y=x²-x-4=（x-1）²-，
∴对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为（1，-）．
将D（1，-）代入y=kx-4，
得-=k-4，解得k=-，
∴y=-x-4，
当y=0时，-x-4=0，解得x=-3，
∴E点坐标为（-3，0），AE=2，
∴△AEC的面积=AE•OC=×2×4=4．
设直线BC与抛物线的对称轴交于点F，如图，
易求直线BC的解析式为y=x-4，
当x=1时，y=×1-4=-，
∴F点坐标为（1，-），DF=--（-）=，
∴△BCD的面积=DF•OB=××3=4，
∴△AEC的面积与△BCD的面积相等；

（3）如图，过点A作AG⊥BC于G．
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-4），
∴AB=4，OC=4，BC==5，AC==．
∵△ABC的面积=AB•OC=BC•AG，
∴AG==，
∴sin∠ACB===．
分析：（1）先求出直线y=kx-4与y轴的交点C的坐标，再设经过点A（-1，0）和点B（3，0）的二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），然后将C点坐标代入，运用待定系数法即可求出这个二次函数的解析式为y=x²-x-4；
（2）先利用配方法求出二次函数y=x²-x-4的顶点D的坐标，再将D点坐标代入y=kx-4，求出k的值，得到直线CD的解析式，再求出CD与x轴交点E的坐标，根据三角形面积公式可得△AEC的面积=AE•OC=4；设直线BC与抛物线的对称轴交于点F，运用待定系数法求出直线BC的解析式，令x=1，求出y的值，得到F点坐标及DF的长度，根据三角形面积公式可得△BCD的面积=DF•OB=4，从而得出△AEC的面积与△BCD的面积相等；
（3）过点A作AG⊥BC于G，易得AB=4，OC=4，运用勾股定理求出BC=5，AC=，根据三角形面积公式得出△ABC的面积=AB•OC=BC•AG，则AG==，在Rt△ACG中根据三角函数的定义即可求出sin∠ACB的值．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，三角形的面积，勾股定理，锐角三角函数的定义，综合性较强，难度适中．