Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

1

2

∠A，tan∠CBF=

1

3

，则CF的长为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  1

  2

  3

• C、

  12

  5

• D、

  5

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：连接AE，根据AB是直径，得出AE⊥BC，CE=EB，依据已知条件得出∠CBF=∠EAB，FB是圆的且线，进而得出CB的长，然后根据割线定理求得CD的长，最后根据切割线定理求得FC．

解答：解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠EAB=

1

2

∠CAB，EB=CE=

1

2

CB，
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，tan∠CBF=

1

3

，
∴∠CBF=∠EAB，tan∠EAB=

EB

AE

=

1

3

，
∴∠CBF+∠ABC=∠EAB+∠ABC=90°，
∴FB是⊙O的切线，
∴FB²=FD•FA，
在RT△AEB中，AB=10，
∴EB=

10

，
∴CB=2

10

，CE=

10

，
∵CE•CB=CD•AC，AC=10，
∴CD=2，
∴AD=AC-CD=8，
设CF=x，则FD=x+2，FA=10+x，FB²=AF²-AB²=（10+x）²-10²，
∴（10+x）²-10²=（x+2）（10+x），
整理得：x=

5

2

，
∴CF=

5

2

，
故应选A．

点评：本题考查了圆周角的性质，解直角三角形和勾股定理的应用，切割线定理等，求得FB是圆的切线是本题的关键．