Question

如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A（m，3）、B（-3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式及△AOB的面积；
（2）若点P是坐标轴上的一点，且满足△PAB的面积等于△AOB的面积的2倍，直接写出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A（m，3）、B（-3，n）两点，
将A与B坐标代入反比例解析式得：m=1，n=-1，
∴A（1，3）、B（-3，-1），
代入一次函数解析式得：，
解得：k=1，b=2，
则一次函数的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与x轴、y轴的交点坐标为（-2，0）、（0，2），
∴S_△AOB=×2×（1+3）=4；

（2）对于一次函数y=x+2，令y=0得到x=-2，即C（-2，0），OC=2，
∴S_△AOB=×2×3+×2×1=4，
∴S_△PAB=2S_△AOB=8，
设P₁（p，0），即OP₁=|p+2|，
S_△ABP1=S_△AP1C+S_△P1BC=|p+2|×3+|p+2|×1=8，
解得：p=-6或p=2，
则P₁（-6，0）、P₂（2，0），
同理P₃（0，6）、P₄（0，-2）．
分析：（1）将A与B坐标代入反比例解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，将两点坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）对于一次函数解析式，令y=0求出x的值，确定出OC长，三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出三角形AOB面积，得到三角形PAB面积，若P在x轴上，设出P坐标，得到OP的长，由OP-OC求出PC的长，三角形APB面积=三角形APC面积+三角形BCP面积，表示出三角形ABP面积，由求出的三角形ABP面积得到P₁与P₂的坐标，同理得到P₃与P₄坐标．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．