Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．

Answer 1

（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16-t，PC=21-2t，
过点P作PE⊥AD于E，
则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12，
∴S_△DPQ=DQ•AB=（16-t）×12=-6t+96．

（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，
∴21-2t=16-t解得：t=5，
∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形．

（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①当PD=PQ时，QE=ED=QD，
∵DE=16-2t，
∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16-2t，
解得：t=，
∴当t=时，PD=PQ
②当DQ=PQ时，DQ²=PQ²
∴t²+12²=（16-t）²解得：t=
∴当t=时，DQ=PQ
分析：（1）S_△QDP=DQ•AB，由题意知：AQ=t，DQ=AD-AQ=16-t，将DQ和AB的长代入，可求出S与t之间的函数关系式；
（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即16-t=21-2t，可将t求出；
（3）当PD=PQ时，可得：AD=3t，从而可将t求出；当DQ=PQ时，根据DQ²=PQ²即：t²+12²=（16-t）²可将t求出．
点评：本题主要考查梯形、平行四边形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合．