Question

如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴y轴的正半轴上．连接AC，且AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，
（1）求A、C两点的坐标；
（2）求AC所在直线的函数解析式；
（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．

Answer 1

分析：（1）因为AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，∠COA=90°，所以可求出OA=2OC，利用勾股定理可得AC²=OC²+OA²，由此即可求出OC=4，OA=8，进而求出A（8，0），C（0，4）；
（2）可设AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出AC的解析式为y=-

1

2

x+4；
（3）可设AC与EF交于点O，由折叠知EF垂直平分AC，所以O是矩形ABOC的中心，所以FO=OE，利用EF、AC互相垂直平分，可得重合部分AECF是菱形，进而可设CF=x，则AF=x，BF=8-x，因为AB=4，∠B=90°，利用勾股定理，可求出x=5，即CF=5，所以重合部分的面积=

1

2

×5×4=10．

解答：解：（1）∵AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，∠COA=90°，
∴

OC

OA

=

1

2

，即OA=2OC，
∵AC²=OC²+OA²，
∴80=OC²+4OC²，
∴OC=4，OA=8，
∴A（8，0），C（0，4）；

（2）设AC的解析式为y=kx+b，
则

4=b 0=8k+b

，
∴

k=- 1 2 b=4

，
所以AC的解析式为y=-

1

2

x+4；

（3）设：AC与EF交于点O，由折叠知EF垂直平分AC，所以O是矩形ABOC的中心，

∴FO=OE，
∴EF、AC互相垂直平分，
∴重合部分AECF是菱形，
设CF=x，则AF=x，BF=8-x，
因为AB=4，∠B=90°，
∴x²=4²+（8-x）²，
∴x=5，即CF=5，
∴重合部分的面积=

1

2

×5×4=10．

点评：本题需仔细分析题意，利用勾股定理、待定系数法即可解决问题．