Question

（1）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F．
①若∠BAD=20°，则∠C=______．
②求证：EF=ED．
（2）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
①求∠ECD的度数；
②若CE=5，求BC长．

Answer 1

解：（1）①∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，（等腰三角形三线合一）
∵∠BAD=20°，
∴∠CAD=20°，
∴∠C=90°-∠CAD=90°-20°=70°；
②∵AD⊥BC，EF⊥AB，BG平分∠ABC，
∴EF=ED；

（2）①∵ED垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ECD=∠A，
∵∠A=36°，
∴∠ECD=36°；
②∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=（180°-36°）=72°，
∵∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，
∴∠B=∠BEC，
∴BC=CE，
∵CE=5，
∴BC=5．
分析：（1）①根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，且∠CAD=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解；
②根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A；
②根据三角形内角和等于180°分别求出∠B=72°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，然后根据等角对等边的性质解答．
点评：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角以及等角对等边的性质，综合题，但难度不大，结合图形仔细分析题目不难解决．