Question

（2012•莱芜）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图2）．
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．

Answer 1

分析：（1）由于AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，则AD=AE=

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2

AB，再根据旋转的性质得到∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，则AB′=AC′，根据三角形全等的判定方法可得到△B′AD≌△C′AE（SAS），则有DB′=EC′；
（2）由于DB′∥AE，根据平行线的性质得到∠B′DA=∠DAE=90°，又因为AD=

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2

AB=

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2

AB′，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠AB′D=30°，利用互余即可得到旋转角∠B′AD的度数．

解答：解：（1）DB′=EC′．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD=AE=

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2

AB，
∵△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′，
∴∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，
∴AB′=AC′，
在△B′AD和△C′AE中，
∵

AB′=AC′ ∠B′AD=∠C′AE AD=AE

，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′；
（2）∵DB′∥AE，
∴∠B′DA=∠DAE=90°，
在Rt△B′DA中，
∵AD=

1

2

AB=

1

2

AB′，
∴∠AB′D=30°，
∴∠B′AD=90°-30°=60°，
即旋转角α的度数为60°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角都等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°的直角三角形三边的关系．