Question

已知：△ABC的周长是4+2

6

，AB=4，AC=

6

+

2

．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若CD是AB上的中线，DE⊥AB，∠ACB的平分线交DE于E，交AB于F，连接BE．
求证：DC=DE，并求△DBE的面积．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC的周长和两边的长，可求得AB的长，根据三边的关系判断△ABC的形状；
（2）此题要想求得面积，应该先求DE=BD=CD=

1

2

AB，可过点C作CM⊥AB交AB于M，得CM∥DE，通过角的关系证得．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形．
∵△ABC的周长是4+2

6

，AB=4，AC=

6

+

2

，
∴BC=（4+2

6

）-4-（

6

+

2

）=

6

-

2

，
∵(

6

+

2

)2+(

6

-

2

)2=42，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵DE⊥AB，
∴CM∥DE，
∴∠DEF=∠MCF，
又∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠BCM=∠A，
∴∠ACD=∠BCM，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠DCF=∠MCF，
∴∠DCF=∠DEF，
∴DC=DE=

1

2

AB=2，
∴△DBE的面积=2×2÷2=2．（证明相等（3分），求面积2分）

点评：本题考查了同学们利用角平分线的性质、勾股定理的逆定理、平行线的性质等知识点解决问题的能力，作辅助线是关键．