Question

在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，过D作DF⊥AC，垂足为F，连接BF交⊙O于E，求证：（1）DF是⊙O的切线；（2）BF：AF=FC：EF．

Answer 1

证明：（1）连接AD，DO，
∵AB为直径作⊙O交BC于D，
∴∠ADB=90°，（直径所对圆周角等于90°）
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴DO∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）设AC与⊙O交于一点G，
∵AF，FB都为⊙O的割线，
∴FG•FA=FE•FB，
∴=，
∵∠ABC=∠DGC，（圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DGC，
∴DG=DC，
∵DF⊥AC，
∴FC=FG，
∴=，
即BF：AF=FC：EF．
分析：（1）根据圆周角定理的推论得出D为BC中点，再利用O为AB中点，得出DO∥AC，从而得出OD⊥DF，问题得证；
（2）首先利用切割线定理得出=，再利用圆内接四边形的性质得出∠ABC=∠DGC，进而利用等腰三角形的性质得出FG=FC，即可证出BF：AF=FC：EF．
点评：此题主要考查了圆周角定理的推论以及圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质、切线的判定等知识，利用已知转换线段等量关系，从而证明结论是证明题中常用思想，同学们应有意识的应用．