Question

如图a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，点E、F分别是两腰AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d₁、d₂，某同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：
①当=时，有EF=；
当=时，有EF=；
当=时，有EF=；
当=时，有EF=；
②当=时，有EF=；当=时，有EF=；
当=时，有EF=；当=时，有EF=．
根据以上结论，解答下列问题：
（1）猜想当=和=时，分别能得到什么结论（其中m、n均为正整数）？
（2）进一步猜想当=时，有何结论（其中m、n均为正整数）？并证明你的结论；
（3）如图b，有一块梯形耕地ABCD，AB∥CD，CD=100米，AB=300米，AD=500米，在AD上取两点E、F，使DE=200米，EF=150米，分别从E、F两处为起点开挖两条平行于两底的水渠，直到另一腰，求这两条水渠的总长度．

Answer 1

解：（1）当=时，EF=；
当=时，EF=．

（2）当=时，EF=．
证明：延长AD、BC交于G，设△DCG在BC边上的高为h，则由三角形相似得：
从上述关于h，EF的方程组中易求得EF=．

（3）由于过点E平行于两底的水渠到两底的距离比等于2：3，由（2）中的结论可得：
水渠长==180（米）
由于过点F平行于两底的水渠到两底的距离比等于7：3，由（2）中的结论可得：
水渠长==240（米）
故两条水渠的总长度是180+240=420（米）．
分析：（1）由题中已知条件，不难得出规律，即当=时，EF=；当=时，EF=；
（2）猜想，还需进行验证，可延长AD、BC交于G，设△DCG在BC边上的高为h，再利用相似三角形对应边成比例，进而可得结论．
（3）对（2）结论的实际运用，由（2）中结论可得两条水渠的总长度．
点评：能够求解一些简单的规律性问题，能够将数学知识熟练地运用到实际生活当中．