Question

已知，∠AOB及∠AOB内任意一射线OC．小明在OC上取一点P，过P作PD∥OA交OB于D，取OP中点E，连接DE并延长交OA于点F．于是他说四边形ODPF是平行四边形，
（1）小明为什么说它是平行四边形？请你给证明一下．
（2）要使四边形ODPF是矩形，已知还需给出什么条件？条件是

∠AOB=90°

．
（3）要使四边形ODPF是菱形，已知还需给出什么条件？条件是

OC平分∠AOB

．

Answer 1

分析：（1）证△PDE≌△OFE，推出DE=EF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）∠AOB=90°，根据矩形的定义推出即可；
（3）推出OD=PD，根据菱形的定义推出即可．

解答：（1）证明：∵E为OP的中点，
∴OE=EP，
∵PD∥OA，
∴∠PDE=∠PFE，
在△PDE和△OFE中

∠PDE=∠OFE ∠DEP=∠FEO PE=OE

∴△PDE≌△OFE（AAS），
∴DE=EF，
∵OE=EP，
∴四边形ODPF是平行四边形；

（2）解：∠AOB=90°，
理由是：∵四边形ODPF是平行四边形，∠AOB=90°，
∴平行四边形ODPF是矩形，
故答案为：∠AOB=90°；

（3）解：OC平分∠AOB，
理由是：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠COA，
∴∠BOC=∠DPO，
∴OD=DP，
∵四边形ODPF是平行四边形，
∴平行四边形ODPF是菱形，
故答案为：OC平分∠AOB．

点评：本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用．