Question

如图，OA、OC是⊙O的半径，OA=1，且OC⊥OA，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD，在OC求一点P，使PA+PD最小，并求这个最小值．

Answer 1

解：延长AO交⊙O于B，连接BD交OC于点P，
则点P为所求，
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC⊥OA，弧AD=2弧CD，
∴∠ABD=30°，
∵OA=1，
∴AB=2，
∴BD=cos30°×AB=，
即PA+PD最小值为．
分析：延长AO交⊙O于B，连接BD交OC于点P，则点P为所求．先找到点A的对称点，连接BD与OC的交点就是所求的点P．由于OA⊥OC，AB是直径，所以OC是AB的垂直平分线，故有PA=PB，那么求PA+PD就是求BD的长，在Rt△ABD中，利用三角函数值可求BD，即PA+PD的值．
点评：本题利用了直径所对的圆周角等于90°、同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半、三角函数值．