Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：AF=DA．

Answer 1

分析 先连接BE，根据点E是AC的中点，AC=2AB，判定△ABE是等边三角形，再根据∠BAC的平分线AD交BC于点D，判定△BAD≌△EAD（SAS），得出∠AED=∠B=90°，然后求得∠FAE=90°-60°=30°=∠DAE，得出∠AFE=∠ADE，最后得到AD=AF．

解答 证明：连接BE，
∵点E是AC的中点，AC=2AB，
∴AB=AE，BE=AE，
∴AB=BE=AE，即△ABE是等边三角形，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD=∠EAD=30°，
在△BAD和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴∠AED=∠B=90°，
∵AF∥BC，
∴∠FAB=90°，
∴∠FAE=90°-60°=30°=∠DAE，
∴∠AFE=∠ADE，
∴AD=AF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和等边三角形，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．