Question

如图1，已知AO是等腰Rt△ABC的角平分线，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）在图1中，∠AOC的度数为

90°

；与线段BO相等的线段为

CO和AO

；
（2）将图1中的△AOC绕点O顺时针旋转得到△A₁OC₁，如图2，连接AA₁，BC₁，试判断S_△AOA1与S_△BOC1的大小关系？并给出你的证明；
（3）将图1中的△ABO绕点B顺时针旋转得到△MBN，如图3，点P为MC的中点，连接PA、PN，求证：PA=PN．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形性质得出AO⊥BC，AO平分BC，根据直角三角形斜边上中线性质得出AO=OB=CO；
（2）过点O作MN⊥BC₁于M，交AA₁于N，证△A₁ON≌△OC₁M，推出△A₁ON和△OC₁M的面积相等，同理可证△AON和△OBM的面积相等，即可得出答案；
（3）延长NP至E，使PE=NP，连接CE，AN，AE，证△PCE≌△PMN，推出CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，推出CE∥MN，C，设EC的延长线交BN的延长线于O，得出A、B、O、C四点共圆，推出∠ACE=∠ABN，证△ABN≌△ACE，推出AN=AE，∠ABN=∠EAC，求出∠EAN=90°，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半推出即可．

解答：（1）解：∵AB=AC，AO是∠BAC的角平分线，
∴AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，BO=OC，
∵∠BAC=90°，
∴BO=OA=OC；

（2）S_△AOA1=S_△BOC1．
证明：过点O作MN⊥BC₁于M，交AA₁于N，
∵OB=OC₁，
∴BM=C₁M，∠BOM=∠C₁OM，
∵∠AOB=∠A₁OC₁=90°，
∴∠AON+∠BOM=∠A₁ON+∠C₁OM=90°，
∴∠AON=∠A₁ON，
∵AO=A₁O，
∴ON⊥AA₁，
∴∠A₁NO=90°=∠OMC₁，
∵在△OMC₁和△A₁ON中

∠A1NO=∠C1MO ∠NA1O=∠C1OM A1O=OC1

∴△A₁ON≌△OC₁M（AAS），
∴△A₁ON和△OC₁M的面积相等，
同理可证△AON和△OBM的面积相等，
∴S_△AOA1=S_△BOC1；

（3）证明：延长NP至E，使PE=NP，连接CE，AN，AE，
∵点P为MC的中点，
∴MP=CP，
∵在△PCE和△PMN中

CP=PM ∠EPC=∠MPN PE=NP

，
∴△PCE≌△PMN（SAS），
∴CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，
∴CE∥MN，
设EC的延长线交BN的延长线于O，
∴∠BNM=∠BOC=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴在四边形ABOC中，∠ACE=∠ABN，
∵在△ABN和△ACE中

AB=AC ∠ABN=∠ACE BN=CE

                                          
∴△ABN≌△ACE（SAS），
∴AN=AE，∠ABN=∠EAC，
∵∠BAC=90°=∠BAN+∠NAC=∠EAC+∠NAC=∠EAN，
即∠EAN=90°，
∵点P为NE的中点，
∴PA=PN（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）．

点评：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．