Question

18．如图，P为⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，BC⊥OP交PA于点C，BC=3，PB=4，则⊙O的半径为6．

Answer 1

分析 连接OA，由切线的性质得出∠OAP=90°，证出BC是⊙O的切线，由勾股定理求出PC=$\sqrt{B{C}^{2}+P{B}^{2}}$=5，由切线长定理得：AC=BC=3，求出PA=3+5=8，证明△AOP∽△BCP，得出对应边成比例，求出OA即可．

解答 解：连接OA，如图所示：
∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∵BC⊥OP，
∴BC是⊙O的切线，PC=$\sqrt{B{C}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由切线长定理得：AC=BC=3，
∴PA=3+5=8，
∵∠OAP=∠CBP=90°，∠P=∠P，
∴△AOP∽△BCP，
∴$\frac{OA}{BC}=\frac{PA}{PB}$，即$\frac{OA}{3}=\frac{8}{4}$，
解得：OA=6；
故答案为：6．

点评 本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线长定理和勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．