Question

20．如图，在△ABC中，∠C为锐角，∠A=45°，AB=3$\sqrt{2}$，BC=5，D是AC边上一点，作点A关于直线BD的对称点E，连结DE、BE，BE与AC交于点F．若DE∥BC，则DF的长为$\frac{10}{7}$．

Answer 1

分析 过B作BM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM=BM=3，CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=4，AC=7，通过△BCM∽△ABC，得到$\frac{BC}{CF}=\frac{AC}{BC}$，求得CF=$\frac{25}{7}$，MF=CM-FM=$\frac{3}{7}$，AF=$\frac{24}{7}$，由于△DEF∽△BCF，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{FC}$，设DF=x，则AD=DE=$\frac{24}{7}-x$，代入比例式即可得到结论．

解答 解：过B作BM⊥AC于M，
∵∠A=45°，$AB=3\sqrt{2}$，
∴AM=BM=3，CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=4，AC=7，
∵∠BMC=∠ABC=90°，∠BCA=∠BCM，
∴△BCM∽△ABC，
∴$\frac{BC}{CF}=\frac{AC}{BC}$，
∴CF=$\frac{25}{7}$，
∴MF=CM-FM=$\frac{3}{7}$，
∴AF=$\frac{24}{7}$，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{FC}$，
设DF=x，则AD=DE=$\frac{24}{7}-x$，
∴$\frac{\frac{24}{7}-x}{5}=\frac{x}{\frac{25}{7}}$，
∴x=$\frac{10}{7}$，
∴DF=$\frac{10}{7}$．
故答案为：$\frac{10}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．