Question

如图，已知一等腰梯形，其底为a和b，高为h
（1）在梯形的对称轴上求作点P，使从点P看两腰的视角为直角；
（2）求点P到两底边的距离；
（3）在什么条件下可作出P点？

Answer 1

解：（1）以CD为直径做半圆交MN与点P，即为所求；

（2）设P到BC的距离为PN=x，
则：CD²=PD²+PC²=（MD²+MP²）²+（PN²+NC²）=+（h-x）²+x²+，
又CD²=MN²+=h²+，
∴+（h-x）²+x²+=h²+．
整理得4x²-4hx+ab=0，
解得：PM=x=；

（3）求作P点的作图是否可以实现，显然取决于方程4x²-4hx+ab=0是否有实数解，
即取决于△=16（h²-ab），
当h²＞ab时，△＞0，即可以作出两点，
当h²=ab时，△=0，即可以作出一点，
当h²＜ab时，△＜0，作圆不能实现．
分析：（1）从点P看两腰的视角为直角即∠DPC为直角即P在以CD为直径的圆上；
（2）可设P到BC的距离为PN=x，在△CDP中，CD²=PD²+PC²，由勾股定理可求出P到BC底边的距离；
（3）P点的作图是否可以实现，显然取决于方程4x²-4hx+ab=0是否有实数解，即取决于△=16（h²-ab），
点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，难度较大，关键将问题与圆结合，利用圆的性质特点解决问题．