Question

把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．

（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，　　　　　　；将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中，问的值是否改变？答：　　　　　　（填“会”或“不会”）；若改变，的值为　　　　　　（不必说明理由）；
（2）在（1）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图2，图3供解题用）

Answer 1

（1）8，不会；（2）当时，
当时，.

试题分析：（1）根据旋转的性质及相似三角形的性质求解即可；
（2）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，根据三角形的面积公式求解即可；情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，由于，，易证：，根据相似三角形的性质求解即可.
（1）由题意得8；将三角板旋转后的值不会改变；

（2）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，

由（2）知：得
于是
情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，

由于，，易证：，
即，解得

于是 
综上所述，当时，
当时，.
本题涉及了旋转问题的综合题，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.