Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，sinB=

4

5

，D为边AC中点，P为边AB上一点（点P不与点A、B重合），直线PD交BC延长线与E，设线段BP长为x，线段CE长为y．
（1）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）过点D作BC平行线交AB与点F，在DF延长线上取一点Q，使得QF=DF，联结PQ、QE、QE交边AC于G点
①当△EDQ与△EGD相似时，求x的值；
②求证：

PD

PQ

=

DE

QE

．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题

分析：（1）在直角三角形ACB中，由AC与sinB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长，进而求出BC的长，过P作PH垂直于BC，交BC于点E，在直角三角形PHB中，利用锐角三角函数定义，根据PB=x，表示出PH于BH，再由CD与HP平行，利用平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围即可；
（2）①连接QB，哟DQ=BC=6，且DQ与BC平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形BCDQ为平行四边形，确定出QB的长，当△EDQ与△EGD相似时，得到∠EDC=∠DQE，由QD与CE平行，得到一对内错角相等，等量代换得到∠EDC=∠QEB，再由一对直角相等，得到三角形DCE与三角形QBE相似，由相似得比例，列出关系式，求出y的值，代入（1）得出的解析式中计算即可求出x的值；
②延长PQ，交EB延长线于M，由DQ与BM平行，根据平行得比例，列出关系式，将QF=DF代入得到MB=BE，由①得到QB垂直于ME，得到QE=QM，由QD与ME平行，得到比例式，将QE=QM代入，变形后即可得证．

解答：解：（1）∵在Rt△ACB中，AC=8，sinB=

AC

AB

=

4

5

，
∴AB=10，BC=6，
过点P作PH⊥BE，垂直为H，
在Rt△PHB中，PH=

4

5

x，BH=

3

5

x，
∵CD∥HP，
∴

CE

EH

=

CD

PH

，即

y

y+6- 3 5 x

=

4

4 5 x

，
解得：y=

30-3x

x-5

（5＜x＜10）；
（2）①连接QB，
∵DQ=BC=6，DQ∥BC，
∴四边形QBCD是平行四边形，
∴BQ=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBQ=90°，
当△EDQ与△EGD相似时，
∵∠EDG＜∠EDQ，
∴∠EDC=∠DQE，
∵DQ∥CE，
∴∠DQE=∠QEB，
∴∠EDC=∠QEB，
∵∠EBQ=∠DCE=90°，
∴△EBQ∽△DCE，
∴

CE

BQ

=

CD

BE

，即

y

4

=

4

6+y

，
解得：y₁=-8（舍去），y₂=2，
代入y=

30-3x

x-5

得：x=8；
②延长PQ，交EB延长线于M，
∵DQ∥ME，
∴

QF

MB

=

PF

PB

=

FD

BE

，
∵QF=FD，
∴MB=BE，
由①得QB⊥ME，
∴QE=QM，
∵DQ∥ME，
∴

PD

DE

=

PQ

QM

=

PQ

QE

，
则

PD

PQ

=

DE

QE

．

点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．