Question

15．已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，菱形PQRS的四个顶点在矩形边上．
（1）求证：△ASP≌CQR；
（2）设AS=x，AP=y，求y关于x的函数关系式及定义域；
（3）当x取最小值时，求S_菱形PQRS．

Answer 1

分析 （1）连接SQ，PR，相交于点O，连接BD，利用菱形的性质、矩形的性质即可证明：△ASP≌CQR；
（2）因为AS=x，所以可得SD=BQ=8-x，由勾股定理可得x²+y²=（8-x）²+（4-y）²，进而得到y和x的关系式；
（3）当x取定义域中的最小值时即x=2时，可求出PA，SO的长，进而可求出菱形的面积．

解答 （1）证明：连接SQ，PR，相交于点O，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=5，AD=BC=10．
∵四边形PQRS是菱形，
∴SO=QO，PO=RO
∴点O是菱形的中心，也是矩形的中心．
∴BD过点O，
∴SD=BQ，PB=DR，AS=QC，AP=RC，在△ASP和△CQR中，$\left\{\begin{array}{l}{AS=QC}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AP=RC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ASP≌CQR（SAS）；
（2）∵AS=x，SD=BQ=8-x，
∵AP=y，BP=4-y，
∴DR=x，AP=RC=5-x，
∴x²+y²=（8-x）²+（4-y）²，
∴y=10-2x，（3≤x≤5）；
（3）∵x=2时，PR=4$\sqrt{5}$，SO=$\sqrt{5}$SQ=2$\sqrt{5}$，
∴菱形PQRS的面积=$\frac{1}{2}$PR•SO=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=20．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的运用及二次函数的运用；题目的综合性较强，有一定难度；证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．