Question

如图，已知直线y₁=2x-3与y₂=-x+3，在平面直角坐标系中相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）连接0P，作PA⊥x轴，垂足为A，将△OPA绕点A顺时针旋转90°，得△O′P′A．求直线O′P′的函数关系式；
（3）在直线O′P′上是否存在点Q，使△QOP′与△OPA相似？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）联立两解析式可得：，
解得：，即点P的坐标为（2，1）．

（2）由（1）可得，点O'坐标为（2，2），点P'坐标为（3，0），
设O'P'的解析式为y=kx+b，则，
解得：，
即直线O′P′的函数关系式为y=-2x+6．

（3）存在．
延长P'Q'与y轴交点为点Q₁，延长OP交O'P'与点Q₂，如图所示：

∵∠POA+∠OPA=90°，∠POA+∠OP'O'=90°，
∴∠OPA=∠QP'O'，
①当点Q在Q₁位置时，此时△OPA∽△Q₁OP'，
故可得=，即=，
解得：OQ₁=6，即可得点Q₁的坐标为（0，6）．
②当Q在点Q₂位置时，此时△OPA∽△OP'Q₂，
直线OP的解析式可求出为y=x，联立O'P'解析式与直线OP解析式可得：
，
解得：，
即点Q₂的坐标为（，）．
综上可得点Q的坐标为（0，6）或（，）．
分析：（1）联立两解析式即可得出交点P的坐标；
（2）求出点O'、P'的坐标，然后利用待定系数法求解函数关系式即可．
（3）本题需要分两种情况讨论，延长P'Q'与y轴交点为点Q₁，延长OP交O'P'与点Q₂，然后根据相似三角形的性质可得出点Q的坐标．
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及了待定系数法求一次函数解析式及两函数图象的交点问题，难点在第三问，关键是找到点Q的两个位置，可根据OP'是直角边、OP'是斜边两个思路进行寻找．