Question

如图，直线y=x+1分别与 x轴、y轴分别相交于点A、B．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与 y轴的正半轴相交于点C，与这个一次函数的图象相交于A、D，且sin∠ACB=．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如果∠CDB=∠ACB，求抛物线y=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

解：（1）设一次函数中的y=0，即y=x+1=0，
∴x=-1，
∴点A的坐标（-1，0），
设x=0，即y=1，
∴点B的坐标（0，1），
∵OA=1，在Rt△AOC中，sin∠ACB==，AC=，
∴OC=，
∴点C的坐标（0，3）．

（2）
①当点D在AB延长线上时，
∵B（0，1），
∴BO=1，∴AB=，
∵∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD．
∴，
∴，
∴AD=5，
过点D作DE⊥y轴，垂足为E，
∵DE∥AO，
∵AD=5，AB=，
∴BD=4，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴BE=DE=4，
∴OE=5，
∴点D的坐标为（4，5）．
因为二次函数的解析式为y=ax²+bx+3，
∴
∴，
∴二次函数解析式为y=-x²+x+3；
②当点D在射线BA上时，同理可求得点D（-2，-1），
二次函数解析式为y=x²+4x+3；
综上可知：如果∠CDB=∠ACB，则抛物线的解析式为y=-x²+x+3或y=x²+4x+3．
分析：（1）设一次函数中的y=0，求出x的值，即A的横坐标，设x=0，求出y的值即B的纵坐标，再利用已知条件和勾股定理求出OC的长，即C的纵坐标；
（2）因为如果∠CDB=∠ACB，则D点的位置不确定，因此小题需要分①当点D在AB延长线上时，②当点D在射线BA上时，两种情况讨论，求出满足题意的抛物线y=ax²+bx+c的解析式即可．
点评：本题考查一次函数和坐标轴的交点问题、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理的运用及综合应用知识、解决问题的能力，题目难度不小，对学生的解题能力要求很高．