Question

如图，直线y=

3

x+4

3

与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿C-B-A向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．若当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形，则点N的坐标为

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．再求得QH，从而求得三角形APQ的面积，进而得出当△APQ的面积最大时，t的值，得出Q，B重合，进而利用菱形的性质求出即可．

解答：解：∵直线y=

3

x+4

3

与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴x=0，y=4

3

，y=0，x=-4，
∴A点坐标为：（-4，0），AO=4，BO=4

3

，
∴AB=8，
∴∠BAC=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CO=4，BC=8，
当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．
∵

QH

OB

=

CQ

CB

，
∴

QH

4 3

=

2t

8

，
∴QH=

3

t
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²﹙0＜t≤4﹚，
同理可得S_△APQ=

1

2

t•﹙8

3

-

3

t﹚=-

3

2

t²+4

3

t﹙4≤t＜8﹚，
当t=4时S=

3

2

t²，S=-

3

2

t²+4

3

t此时取到最大值，
∴当△APQ的面积最大时，此时Q与B重合，
当以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形，
AN₁=8时，且AN₁∥y轴，则N₁（-4，-8），
AN₂=8时，且AN₂∥y轴，则N₂（-4，8），
当N₃点与C点重合坐标为：N₃（4，0），
当AB是对角线，AE=AN=BE，设BE=x，则AE=AN=x，
∴在Rt△AEO中
AE²=EO²+AO²，
∴x²=（4

3

-x）²+4²，
解得：x=

8 3

3

，
∴N（-4，

8 3

3

），
综上所述，点N的坐标为：（4，0）（-4，8）或（-4，-8）或（-4，

8 3

3

）．
故答案为：（4，0）（-4，8）或（-4，-8）或（-4，

8 3

3

）．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及三角形面积求法和勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论得出N的位置是解题关键．