Question

等边△OAB在平面直角坐标系中（图1），已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA₁B₁．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）当a=30°时，求△OAB与△OA₁B₁重合部分（图2中的阴影部分）的面积；
（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，求a的值；
（4）当60＜a＜180时，设直线A₁B₁与BA相交于点P，PA、PB₁的长是方程x²-mx+m=0的两个实数根，求此时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）B的坐标是（1，）；

（2）图2中的阴影部分的面积=S_△OAN-S_△QAM
=×1××
=6-；

（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，A₁B₁∥x轴，
∴a₁=120°或a₂=300°；

（4）连接AB₁，

∵OA=OB₁=2，
∴∠OAB₁=∠0B₁A
∴∠PB₁G=∠B₁AH，
又∵∠PAB₁=180°-60°-∠B₁AH=120°-∠B₁AH
∠PB₁A=180°-60°-∠AB₁G=120°-∠AB₁G
∴∠PAB₁=∠PB₁A，
∴PA=PB₁
∴方程x²-mx+m=0的两个相等实数根，
△=（-m）²-4m=0
m₁=0（舍去），m₂=4
方程为：x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∴PA=PB₁=2
在直角△APM中，PM=AP•sin60°=2×=，
AM=AP•cos60°=1，则OM=OA-AM=3-1=2．
∴P点坐标为（3，）
分析：（1）根据A点坐标可知，正三角形的边长是2，过B作x轴的垂线，根据三角函数即可求得；
（2）阴影部分的面积=S_△OAN-S_△QAM，而这两个三角形的面积很容易得到；
（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，A₁B₁∥x轴，a₁=120°或a₂=300°
（4）可以证明PA=PB₁，即方程x²-mx+m=0的两个相等实数根，根据根的判别式即可求得m的值，从而求得PA，PB₁的长，得到P的坐标．
点评：本题综合运用了平行于x轴的点的坐标的关系，以及一元二次方程的根的判别式，题目难度较大．