Question

设整数a使得关于x的一元二次方程5x²-5ax+26a-143=0的两个根都是整数，则a的值是

18

Answer 1

分析：首先将方程组5x²-5ax+26a-143=0左右乘5得25x²-25ax+（130a-26²）-39=0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．

解答：解：∵5x²-5ax+26a-143=0?25x²-25ax+（130a-26²）-39=0
即（5x-26）（5x-5a+26）=39
∵x，a都是整数，故（5x-26）、（5x-5a+26）都分别为整数
而只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况
①当5x-26=1、5x-5a+26=39联立解得a=2.8不符合
②当5x-26=39、5x-5a+26=1联立解得a=18
③当5x-26=3、5x-5a+26=13联立解得a=8.4不符合
④当5x-26=13、5x-5a+26=3联立解得a=12.4不符合
∴当a=18时，方程为5x²-90x+325=0两根为13、-5．
故答案为18．

点评：本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．