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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，已知△ABC与△DCE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，点D在AC上，直线BD交AE于点F．
    （1）请补充完整证明“BD=AE，BF⊥AE”的推理过程；
    证明：在△ACE与△BCD中
    ∵（
    AC=BC，∠DCB=∠ECA，DC=EC
    AC=BC，∠DCB=∠ECA，DC=EC
    ）
    ∴△ACE≌△BCD（SAS）
    ∴BD=AE，∠CAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等）
    ∵∠ACE=90°
    ∴∠CAE+∠AEC=90°（
    直角三角形的两锐角互余
    直角三角形的两锐角互余
    ）
    ∴∠CBD+∠AEC=90°（等量代换）
    ∴
    ∠BFE=90°
    ∠BFE=90°

    ∴BF⊥AE（垂直的定义）
    （2）将△DCE绕着点C旋转，在旋转过程中保持△DCE的大小与形状均不变，那么，当△DCE旋转至图2的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？
    分析：（1）根据SAS证△ACE≌△BCD，推出BD=AE，∠CAE=∠CBD，根据∠ACE=90°求出∠CAE+∠AEC=90°，推出∠BFE=90°，根据垂直定义推出即可；
    （2）求出∠ACE=∠BCD，其余证明过程和（1）类似．
    解答：（1）证明：∵在△ACE和△BCD中
    AC=BC
    ∠ACE=∠BCD
    CE=CD
    ，
    ∴△ACE≌△BCD（SAS），
    ∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
    ∵∠ACE=90°，
    ∴∠CAE+∠AEC=90°（直角三角形的两锐角互余），
    ∴∠BFE=90°，
    ∴BF⊥AE，
    故答案为：AC=BC，∠DCB=∠ECA，CE=CD，直角三角形的两锐角互余，∠BFE=90°．

    （2）解：（1）中的结论还成立，
    理由是：∵∠ACB=∠DCE=90°，
    ∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
    ∴∠ACE=∠BCD，
    在△ACE和△BCD中
    AC=BC
    ∠ACE=∠BCD
    CE=CD
    ，
    ∴△ACE≌△BCD（SAS），
    ∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
    ∵∠ACE=90°，
    ∴∠CAE+∠AHC=90°，
    ∵∠AHC=∠BHF，∠HBF=∠CAH，
    ∴∠BHF+∠HBF=90°
    ∴∠BFE=90°，
    ∴BF⊥AE．
    点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
    探究：
    （1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
    （2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为SN．
    ①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜Sn＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
    ②当n＞1时，请写出一个反映Sn-1，Sn，Sn+1之间关系的等式．（不必证明）精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=
    12
    BC．根据上面的结论：
    （1）你能否说出顺次连接任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形并说明理由；
    （2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•德州）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
    （2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
    （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
    如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）添线补全如图1几何体的三视图．

    （2）如图2，已知△ABC．请你确定一点P，使PB=PC，且点P到∠B的两边距离相等．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
    （1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N
    ①证明：DM=DN
    ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积
    （2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

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