Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，①求证：△ADC≌△CEB；②若AD=3，BE=2，求DE长．
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=3，BE=1.5，求DE长；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，AD=1.5，BE=3，求DE长．

Answer 1

解：（1）①证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
又∵BE⊥MN，
∴∠BCE+∠CBE=90°．
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC与△CEB中，
．
∴△ADC≌△CEB；
②∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD=2+3=5；

（2）同①的证明得△ADC≌△CEB，
∴DE=CE-CD=AD-BE=3-1.5=1.5；

（3）同（2），DE=CD-CE=BE-AD=3-1.5=1.5．
分析：（1）①证明∠ACD=∠CBE，根据“AAS”可证△ADC≌△CEB；②根据全等三角形性质得DE=AD+BE；
（2）同理可证△ADC≌△CEB，得DE=AD-BE；
（3）同（2）．
点评：此题考查全等三角形的判定与性质及图形的旋转，属分散拓展题型，有利于培养创新思维能力．