Question

9．平面直角坐标系中，正方形OEFG的顶点在坐标原点
（1）如图，若G（-1，3），求F的坐标；
（2）如图，将正方形OEFG绕O点旋转，过G作GN⊥y轴于N，M为FO的中点，问：∠MNO的大小是否发生变化？说明理由；
（3）如图，A（-6，6），直线EG交AO于N，交x轴于M，下列关系式：①MN²=ME²+NG²；②$\sqrt{2}$MN=EM+NG中哪个是正确的？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OF、EG，OF交EG于K，作GM⊥y轴于M，EN⊥y轴于N．由△EON≌△GOM，推出GM=ON=1，EN=OM=3，推出E（-3，-1），求出点K的坐标即可解决问题；
（2）结论：∠MNO=45°，不发生变化．如图2中，作MH⊥y轴于H，MJ⊥GN于J，连接GM．只要证明△OMH≌△JMG，推出MJ=MH，又MH⊥y轴于H，MJ⊥GN于J，即可推出MN平分∠HNJ，由此即可解决问题；
（3）结论：①MN²=ME²+NG²正确．如图3中，将△MOE绕点O顺时针性质90°得到△OKG．首先证明△NGK是直角三角形，再证明△NOM≌△NOK即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，连接OF、EG，OF交EG于K，作GM⊥y轴于M，EN⊥y轴于N．

∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=OE，∠EOG=∠GMO=∠ENO=90°，FK=OK，KG=KE，
∴∠EON+∠GOM=90°，∠GOM+∠OGM=90°，
∴∠EON=∠OGM，
∴△EON≌△GOM，
∴GM=ON=1，EN=OM=3，
∴E（-3，-1），
∴K（-2，1），
∴F（-4，2）．

（2）结论：∠MNO=45°，不发生变化．
理由：如图2中，作MH⊥y轴于H，MJ⊥GN于J，连接GM．

∵MF=MO，∠FGO=90°，FG=GO，
∴GM=OM=FM，GM⊥OF，
∵∠MJN=∠MHN=∠JNH=90°，
∴∠HMJ=∠OMG=90°，
∴∠JMG=∠OMH，
∵∠MHO=∠MJG=90°，
∴△OMH≌△JMG，
∴MJ=MH，∵MH⊥y轴于H，MJ⊥GN于J，
∴MN平分∠HNJ，
∴∠MNO=45°．

（3）结论：①MN²=ME²+NG²正确．
理由：如图3中，将△MOE绕点O顺时针性质90°得到△OKG．

∵∠OEM=∠OGK=135°，
∵∠EGO=45°，
∴∠NGK=90°，
∵A（-6，6），
∴∠NOM=∠NOK，
∵ON=ON，OM=OK，
∴△NOM≌△NOK，
∴MN=KN，
在Rt△KNG中，∵NK²=GN²+KG²，KG=EM，
∴MN²=NG²+EM²．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．