Question

（2012•河北区一模）如图，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），O为原点，点C为x轴正半轴上一动点，M为线段BC中点．
（Ⅰ）设C（x，0），S_△AOM=y，求y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（Ⅱ）如果以线段AO为直径的⊙D与以BC为直径的⊙M外切，求x的值．
（Ⅲ）连BO，交线段AM于N，如果以A，N，B为顶点的三角形与△OMC相似，请写出直线CN的解析式（不要过程）．

Answer 1

分析：（1）根据梯形中位线定理可得DM的长，再根据三角形面积公式即可得到y与x的关系式；
（2）连CF，根据勾股定理，相切两圆之间的关系、两点之间的距离公式可得方程组

(2r)2=(4-x)2+22 DM=1+r= x+4 2

，解方程求解即可；
（3）如果三角形ABN和三角形OMC相似，一定不相等的角是∠ABN和∠MOC，∠BAN和∠MCO，因为AB∥OC，如果两角相等，那么M与B重合，显然不合题意．因此本题分两种情况进行讨论：
①当∠ABN=∠OMC时，那么∠ANB=∠OCM，可得出关于BC，OC，CM的比例关系式，即可求出OC的值．
②当∠ABN=∠OCM时，∠ANB=∠OMC，可根据这两个角的正切值求出OC的值，再根据相似三角形的性质可求N点的坐标，根据待定系数法得到直线CN的解析式．

解答：解：（Ⅰ）取OA中点D，连DM，
则 DM=

1

2

(AB+OC)=

1

2

(4+x)=2+

x

2

，
y=S△AOM=

1

2

OA•DM=

1

2

x+2．
∴y=

1

2

x+2（x＞0）．…（4分）

（Ⅱ）⊙D与⊙M外切，⊙M与AB交于F，
连CF，则∠BFC=90°，OC=AF=x，BF=4-x，CF=2，
设⊙M的半径为r，则

(2r)2=(4-x)2+22 DM=1+r= x+4 2

解得 x=

4

3

．  

（Ⅲ）y=3x-6或y=-

3

10

x+

12

5

．

点评：考查了相似形综合题，本题关键是掌握梯形中位线定理，三角形面积公式，勾股定理，相切两圆之间的关系、两点之间的距离公式，解二元一次方程组，相似三角形的性质，综合性较强，有一定的难度．