Question

（2010•贺州）在边长为8的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=6，点H是正方形边上的一点，连接BH，交线段AE于点F，且BH=AE，则线段FH的长是（　　）

A．5

B．5或4.8

C．5.2或5

D．10

Answer 1

分析：首先分两种情况分析，①可证得Rt△ABE≌Rt△BCH，继而证得△BEF∽△BHC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
②首先连接EH，易证得Rt△ABE≌Rt△BAH，继而可证得四边形ABEH是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得答案．

解答：解：分两种情况讨论：
①如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCH=90°，
在Rt△ABE和Rt△BCH中，

AB=BC AE=BH

，
∴Rt△ABE≌Rt△BCH（HL），
∴∠AEB=∠BHC，BH=AE，
∵∠EBF=∠HBC，
∴△BEF∽△BHC，
∴BE：BH=BF：BC，
在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=10，
∴BH=10，
即6：10=BF：8，
解得：BF=4.8，
∴FH=BH-BF=10-4.8=5.2；

②如图2，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BAH=90°，
在Rt△ABE和Rt△BAH中，

AB=BA AE=BH

，
∴Rt△ABE≌Rt△BAH（HL），
∴AH=BE，AE=BH，
∵AH∥BE，
∴四边形ABEH是平行四边形，
∴BF=FH=

1

2

BH=

1

2

AE=5．
综上，线段FH的长是：5.2或5．
故选C．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．