Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），则△AOB的内心与外心之间的距离是

 

．

Answer 1

分析：根据勾股定理求出AB，过中点M作MH⊥X轴于H，根据三角形的中位线求出M的坐标，连接QF、QE、QM，证正方形QEOF，推出QE=QF=OE=OF，根据切线长定理得到3-OE+4-OE=5，求出Q的坐标，根据勾股定理求出即可．

解答：解：OB=4，OA=3，由勾股定理得：BA=5，
过中点M作MH⊥X轴于H，
根据三角形的中位线定理得：MH=

1

2

OB=2，
即M的纵坐标是2，
同理M的横坐标是1.5，
∴M（1.5，2），
连接QF、QE、QM，
∵圆Q是△AOB的内切圆，
∴BE=BD，AF=AD，
QE⊥OB，QF⊥OA，
∴∠QEO=∠QFO=∠EOF=90°，
∵QE=QF
∴四边形EQFO是正方形，
∴QE=QF=OE=OF，
∵OB=4，OA=3，
∴3-OE+4-OE=5，
OE=OF=1，
Q（1，1），
由勾股定理得：QM=

(1.5-1)2+(2-1)2

=

5

2

，
故答案为：

5

2

．

点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线，正方形的性质和判定，切线长定理，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．