Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．
（1）直接写出∠ECF的度数等于

60

°；
（2）求证：△ABD∽△CED；
（3）若AB=12，AD=2CD，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质得出∠ACB=60°，推出∠ACF=120°，根据角平分线定义求出即可；
（2）求出∠DCE=∠A，根据相似三角形的判定推出即可；
（3）作BG⊥AC于G，求出AG，CG、DG，根据勾股定理求出BG、BD，根据相似求出DE，即可求出答案．

解答：（1）解：∠ECF=60°，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACF=120°，
∵CE是∠ACF的平分线，
∴∠ECF=

1

2

∠ACF=60°，
故答案为：60．

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠DCE=∠ECF=60°=∠A，
∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD～△CED．

（3）解：作BG⊥AC于G，
则AG=CG=6，
∵AD=2CD，
∴AD=8，CD=4，
∴DG=2，
可求得BG=

122-62

=6

3

，
∴BD=

BG2+DG2

=

112

=4

7

，
由（1）得△ABD～△CED，
∴

BD

DE

=

AD

CD

=

2

1

，
∴DE=2

7

，
∴BE=2

7

+4

7

=6

7

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．