Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，将一直角△DEF纸片平放在△ACB所在的平面上，且使直角顶点重合于点D（C始终在△DEF内部），设纸片的两直角边分别与AC、BC相交于M、N．
（1）如图1，当∠A=∠NDB=45°，则CN+CM等于______；
（2）探索，如图2，当∠A=45°，∠NDB≠45°时，则CN+CM的值是否与（1）相同？说明理由．

Answer 1

解：（1）连CD，如图，
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB=2，
而D点为斜边的中点，
∴CD=DA，∠DCB=∠ACB=45°，∠CDA=90°
∵∠MDN=90°，
∴∠CDA-∠CDM=∠MDN-∠CDM，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN，
∴AM=CN，
∴CM+CN=CM+AM=AC=2．

（2）CN+CM的值仍然等于2．理由如下：
连CD，如图2，
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB=2，
而D点为斜边的中点，
∴CD=DA，∠DCB=∠ACB=45°，∠CDA=90°
∵∠MDN=90°，
∴∠CDA-∠CDM=∠MDN-∠CDM，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN，
∴AM=CN，
∴CM+CN=CM+AM=AC=2．
分析：（1）连CD，由于∠ACB=90°，∠A=45°，可得到△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AC=AB=2，而D点为斜边的中点，根据等腰直角三角形斜边上的中线性质得CD=DA，∠DCB=∠ACB=45°，∠CDA=90°，利用等角的余角相等得到∠ADM=∠CDN，根据三角形全等的判定方法可证得△ADM≌△CDN，则AM=CN，于是CM+CN=CM+AM=AC=2；
（2）与（1）的解法一样可得到CN+CM的值仍然是2．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角对应相等，且它们所夹的边也相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．